1. 自律性の柱
主に 自律系。式(1)における関数 $F$ および $G$ が独立変数 $t$ に依存しないという性質を持つシステムは、自律的であると言われます。この独立性により、軌道を固定された位相平面内の恒久的な経路として解釈できます。
任意の自律系 $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{x})$ に対して、$\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0$ を満たす一意な解が存在します。位相平面において、これは 軌道は決して交差しないことを保証します。経路は到着時刻ではなく、現在の状態によって完全に決定されます。
2. 線形の基準と非線形の現実
線形系 $\mathbf{x}' = \mathbf{Ax}$ では、原点は通常唯一の平衡点であり、行列式 $q = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ とトレースによって支配されます。しかし、非線形系はその 臨界点——右辺がゼロとなる場所です。大きな 落とし穴 は、複数あるいは多数の臨界点が軌道への影響を競い合う可能性があることです。
例：非線形振り子
線形ばね-質量系では周期が一定ですが、非線形振り子の周期 $T$ は振幅に依存し、楕円積分によって表されます：
$$T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}}$$
3. 安定性とリャプノフの視点
方程式を解かずにこれらの点を分析するため、私たちは リャプノフ関数を使用します。$V$ が原点を含む領域 $D$ 上で定義されているとします。このとき、$V(0, 0) = 0$ かつ $D$ 内のすべての他の点 $(x, y)$ に対して $V(x, y) > 0$ である場合、$V$ は $D$ 上で正定値であると言われます。
3次元に拡大すると、ローレンツ行列に出会います：
$$\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} -10 & 10 & 0 \\ 1 & -1 & -\sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} \\ \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}$$